2016/05/21
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【R】多項ロジットモデル【mlogit】

今回は離散選択モデルのひとつ, 多項ロジットモデルについて書きます。

離散選択モデル

複数の選択肢の集合から, 1つを選択する場合の数理モデルを離散選択モデル (discrete choice model) という。

【R】順序ロジットモデルと順序プロビットモデル【比例オッズ】でも触れた, 目的変数が順序尺度でなく選択肢が3つ以上の場合の代表的なモデルとして, ロジスティック分布を使う多項ロジットモデル (multinomial logit model, MNL)と, 正規分布を使う多項プロビットモデル (multinomial probit model, MNP)がある。

多項ロジットモデルは IIA特性 (Independence from Irrelevant Alternatives, 無関係の選択肢からの独立性) を仮定する。これは, “ある2つの選択肢のオッズ比が, 他の選択肢が選択可能かに左右されない”という中々強い仮定である。一方, 多項プロビットモデルは誤差項の相関構造を仮定することで IIA を回避できるが, 多項ロジットモデルと比べて計算量は多くなる。

応用例としては, 社会学や心理学, 計量経済学, 交通工学[1], マーケティング分野などがあり, 例えば複雑な要因から消費者がある商品を選択した根拠を読み解く際に使われている。

Rで多項ロジットモデル

{mlogit} を使って, 多項ロジットモデルを試してみる。

今回使う Fishing データセットはクロスセクションデータで下記から成る。

  • mode: 意思決定者は {beach, pier(桟橋), boat, charter} の集合から1つだけ選択
  • price: mode に対する価格
  • catch: mode における漁獲率
  • income: 意思決定者の月収
  • chid: 意思決定者のID

元のdata.frameを確認する。1人につき1行となっている。

> head(Fishing)
     mode price.beach price.pier price.boat price.charter catch.beach catch.pier catch.boat catch.charter   income
1 charter     157.930    157.930    157.930       182.930      0.0678     0.0503     0.2601        0.5391 7083.332
2 charter      15.114     15.114     10.534        34.534      0.1049     0.0451     0.1574        0.4671 1250.000
3    boat     161.874    161.874     24.334        59.334      0.5333     0.4522     0.2413        1.0266 3750.000
4    pier      15.134     15.134     55.930        84.930      0.0678     0.0789     0.1643        0.5391 2083.333
5    boat     106.930    106.930     41.514        71.014      0.0678     0.0503     0.1082        0.3240 4583.332
6 charter     192.474    192.474     28.934        63.934      0.5333     0.4522     0.1665        0.3975 4583.332 

incomeによって各modeのpriceは異なっている。

fishing-price-each-mode

この data.frame を, mlogit()のために適した形に変形する。

# shape a data.frame in a suitable form for the use of the mlogit function.
Fish <- mlogit.data(Fishing, varying = c(2:9), shape = "wide", choice ="mode")

変形後は mlogit.data クラスの属性が追加された。

# class() でも同様
> attributes(Fishing)$class
[1] "data.frame"
> attributes(Fish)$class
[1] "mlogit.data" "data.frame" 

各行は4つの mode についてそれぞれ 選択した/しない で複数行に分割されて, 1人で4行となった。その分, 列名がすっきりしている。

> head(Fish)
           mode   income     alt   price  catch chid
1.beach   FALSE 7083.332   beach 157.930 0.0678    1
1.boat    FALSE 7083.332    boat 157.930 0.2601    1
1.charter  TRUE 7083.332 charter 182.930 0.5391    1
1.pier    FALSE 7083.332    pier 157.930 0.0503    1
2.beach   FALSE 1250.000   beach  15.114 0.1049    2
2.boat    FALSE 1250.000    boat  10.534 0.1574    2

mlogit()でモデリング。結果には対数尤度, McFadden's R-squared, 尤度比検定 が含まれる。

model <- mlogit(mode ~ price | income | catch, Fish)
summary(model)
# Coefficients :
#                        Estimate  Std. Error  t-value  Pr(>|t|)
# boat:(intercept)     8.4184e-01  2.9996e-01   2.8065 0.0050080 **
# charter:(intercept)  2.1549e+00  2.9746e-01   7.2443 4.348e-13 ***
# pier:(intercept)     1.0430e+00  2.9535e-01   3.5315 0.0004132 ***
# price               -2.5281e-02  1.7551e-03 -14.4046 < 2.2e-16 ***
# boat:income          5.5428e-05  5.2130e-05   1.0633 0.2876612
# charter:income      -7.2337e-05  5.2557e-05  -1.3764 0.1687088
# pier:income         -1.3550e-04  5.1172e-05  -2.6480 0.0080977 **
# beach:catch          3.1177e+00  7.1305e-01   4.3724 1.229e-05 ***
# boat:catch           2.5425e+00  5.2274e-01   4.8638 1.152e-06 ***
# charter:catch        7.5949e-01  1.5420e-01   4.9254 8.417e-07 ***
# pier:catch           2.8512e+00  7.7464e-01   3.6807 0.0002326 ***
# ---
# Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
# Log-Likelihood: -1199.1
# McFadden R^2:  0.19936
# Likelihood ratio test : chisq = 597.16 (p.value = < 2.22e-16)

Fishに対するフィットの確認。

head(model$fitted.values)
#   1.beach   2.beach   3.beach   4.beach   5.beach   6.beach
# 0.3114002 0.4537956 0.4567631 0.3701758 0.4763721 0.4216448

head(model$probabilities)
#           beach      boat   charter       pier
# [1,] 0.09299769 0.5011740 0.3114002 0.09442817
# [2,] 0.09151070 0.2749292 0.4537956 0.17976449
# [3,] 0.01410358 0.4567631 0.5125571 0.01657625
# [4,] 0.17065868 0.1947959 0.2643696 0.37017585
# [5,] 0.02858215 0.4763721 0.4543225 0.04072324
# [6,] 0.01029791 0.5572463 0.4216448 0.01081103

incomeに対する各modeの予測選択確率をまとめると, 下記のようになった。

mlogit-stack-prob

未知のデータを予測する場合。

unknown <- Fish[1:4,]
unknown[1:4,]$income <- 2000
predict(model, newdata = unknown)
# beach       boat    charter       pier
# 0.08386158 0.34096752 0.40560746 0.16956344

Code は GitHub に置いた。

多項プロビットモデルの他に IIA特性 を回避するモデルとして, ネステッド・ロジットモデルなどがある。


[1] 基礎オペレーションズリサーチ (別冊)
[2] ネスティッドロジットモデルとIIA特性 singular point
[3] 多項ロジット(Multinomial Logit), R - mlogit 使用メモ - 東京に棲む日々
[4] Comparing mnlogit and mlogit for discrete choice models R-bloggers
[5] Rで学ぶ離散選択モデル
[6] マーケティングサイエンスにおける離散選択モデルの展望